[ㅇㅅㅇ] 미분 개념 질문이요...ㅠㅠ
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교과서에 극대와 극소의 판정 내용에서
"미분 가능한 함수 f(x) 에 대하여 f'(a)= 0 일 때,
x=a 의 좌우에서 부호가 바뀌면 극값을 가진다"
라는 명제가 있는데 왜 조건에서 꼭 f'(a)=0 이어야 하나요?
만약 "f(x)가 미분 가능한 함수라면 f'(x)가 연속이다" 라는 명제가 추가로 성립하여
"미분가능한 함수 f(x) 이고 f'(a)=0 일 때, x=a 좌우에서 부호가 바뀌면 극값을 가진다" 가
더 맞다고 생각하고
실제로 f(x)가 미분가능한 함수여도 f'(x)이 연속함수일 이유도 없는 걸로 압니다...
한편, 실수전체 집합에서 연속이고 x≠a 에서 미분가능한 함수 f(x)도 x=a 좌우에서
도함수의 부호가 서로 다르면 극값을 가지는데 이 경우에도 단순히 f'(a)의 존재성과 관계
없이 극값이 있음을 보일 수 있습니다.
따라서 주어진 명제
"미분 가능한 함수 f(x) 에 대하여 f'(a)= 0 일 때,
x=a 의 좌우에서 부호가 바뀌면 극값을 가진다" 에서 f'(a) = 0 라는 조건을 가지는게
이해가 안되는데 혹시 이 내용에 대해 설명해주시면 감사하겠습니다... ㅠㅠㅠ
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첫질문
미분가능함수에서 극값이라면 항상f'a=0임 증명교과서에있음
둘째 극값은 미분불가능한함수에서조존재 극값정의다시보시고생각!
[ㅇㅅㅇ] 첫번째 그 역이 성립하지 않고 만약 역이 성립하기 위해서는 좌우 부호의 변화가 있어야 한다는 말씀이지요?
두번째라고 말씀하신건 질문이 아니라 첫번째 질문에 대한 부연설명으로 쓴거에요ㅎㅎ
f'(a)가 존재하지 않는 경우에도 단순히 좌우 부호의 변화만 관찰해도 극값이 있음을 보일 수 있는데 굳이 f'(a)=0 이라는 조건이 필요할까? 라는 차원에서...ㅎㅎ
답변 감사합니다!
그리고 이제 극값의 정의가 바뀌어서, 정의역이 실수전체인 함수에서 f'(x)=0, 즉 상수함수라면 실수 전체범위에서 극값을 갖아요. 즉 x=a 라는 특정 지점에서 좌우 부호변화가 '없어도' 극값일수 있어요.
10분정도 내로 답글 hwp 파일로 올릴테니까 기다려주세요
한글로 작성하니 시간이 좀 걸림ㅠ
[ㅇㅅㅇ] 천천히 하셔도 괜찮아요..ㅠㅠ 이거 때문에 며칠을 고생하고 있는데 답변해주셔서 감사합니다ㅎㅎ
올렸어요
저도 더 공부하고 오겠습니당ㅎㅎ
사실 이 문제는 극값에 대해 고민을 해본 고등학생이라면, 누구나 한 번 쯤은 찾아오게 되는 질문입니다. 저 역시 그랬고, 수능이 끝날 때까지도 답을 못했지만 수학을 전공하면서 오랜 시간이 지난 후에야 깨닫게 되었습니다. 결론은 "알 필요 없다." 입니다만, 차근차근 설명해드리도록 하겠습니다.
모든 것의 시작은 Darboux's theorem(다르부 정리)로부터 시작합니다.
주소) http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3405010&cid=47324&categoryId=47324
무슨 말이냐 하면은, 미분가능한 함수 f(x)의 도함수 f'(x)는 '연속함수'는 아니지만 '사잇값 정리'까지는 항상 성립한다 입니다. 편의상 실수 전체의 집합에서 연속, 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수를 각각 연속함수, 미분가능한 함수라고 하겠습니다.
보통 연속함수 f(x)가 사잇값 성질을 만족하는 것은 알고 계실 것입니다. 수학자들은 한때 연속함수=사잇값 성질을 만족하는 함수라고 오해했던 시절이 있었지만, 다르부의 정리에서 보시다시피 연속은 더 강한 조건, 사잇값 성질은 더 약한 조건이 됩니다. 예를 들어 f(x)=(x^2)sin(1/x) (if x!=0), 0 (if x=0)의 경우에서 도함수 (생략합니다.)는 비록 연속함수는 아니지만 사잇값 성질을 항상 만족합니다. 질문자 님께서 x=0 주변의 절댓값이 아주 작은 두 실수, 예컨대 x1= -0.001, x2=0.001을 제시하여 f'(x1)과 f'(x2)를 고른다 하여도 저는 f'(0)=0을 제시하여 그 사이에 있는 도함수값(미분계수)을 항상 찾을 수 있습니다. 비록, 도함수가 연속함수가 아닐지라도 말이지요. 덕분에 이 함수의 도함수의 모양은 x=0 주변에서 미친듯이 진동하는 모양을 그리게 됩니다. 이 함수에 대한 자세한 내용은 주변 수학 선생님을 붙잡고 물어보시면 친절히 답해주시리라 믿습니다.
하여튼 이러한 배경지식으로부터 교과서의 사기적인 서술이 시작됩니다. 교과서는 이러한 다르부의 정리를 실을 수 있을 리가 만무합니다. 일단 도함수의 부호가 좌우에서 바뀌면서 도함수 좌우의 극한값이 존재한다면, 그것의 극한값은 필히 0이 되어야하므로 다르부의 정리에 의해 f'(a)=0이어야 합니다. 역으로 말하자면, f'(x)=x (if x!=0), 1 (if x=0) 따위의 도함수는 다르부의 정리에 의해 존재할 수 없게 됩니다. 사잇값 성질을 만족하지 않기 때문이지요.
집필진들은 고민을 하게 됩니다. 단순히 좌우에서 값이 바뀐다고 하면 이러한 오해의 소지, 혹은 오개념을 낳을 여지가 있지만 다르부의 정리는 서술할 수 없기 때문이지요. 그래서 선택한 방법이 f'(a)=0임을 필요없음에도 불구하고 먼저 가정한 것입니다. 방금과 같이 f'(a)=1이면서 도함수의 좌우 부호가 바뀌면 어떻게 하나요? 등의 의문을 남길 수는 있지만 책임은 교사들에게 전가하는 효과가 있는 셈이지요.
불연속인 함수에 대해서는 질문자님이 남기신 말이 맞습니다. 사실 100% 맞다고 보기에는 어렵고, 그때그때 조금씩 상황이 달라지기는 하겠습니다만, 작년 A형 21번 문제와 유사하게는 생각할 수는 있겠지요.
길고도 지루한 이야기였고, 결국은 쓸모없는 내용이겠지만 질문자님의 고민을 덜었으면 하는 바람이 있네요. 시간이 늦었습니다. 안녕히 주무시고, 모르는 내용은 다시 질문하시면 답변드리겠습니다.
먼저 긴 시간 내셔서 답변해주셔서 정말정말 감사합니다ㅠㅠ
제가 교과서와 기출만 가지고 수학공부를 하는 독학생이기 때문에 수학의 개념은 전적으로 교과서에 얻을 수 밖에 없고 오개념이 생기지 않도록 교과서 계속 반복해서 읽고 이해하는 과정을 거쳤음에도 불구하고 결국 오랜시간 동안 해결하지 못해서 질문한 것인데 교과서 서술과정에 저런 스토리가 있다는 사실은 꿈에도 몰랐습니다... 비록 저 내용을 이해하는데 어려움을 겪겠지만 (그리고 결국 이해하지 못하겠지만...) 저런 수학적인 내용이 있고 그로 인한 교과서 서술 방식의 약간의 빈약함(?)이 있다는 사실을 알게 된 것만으로도 저에겐 정말 정말 큰 도움이 되었습니다. 궁금했던 내용은 해결된 것 같습니다. 이제 편안하게 잘 수 있을 것 같네요ㅎㅎ 정말정말 감사합니다!
교수학적 변환상에서 일어나는 오류라고 보시면 되겠습니다. 가르쳐야할 내용이지만 약간의 오류를 감수하고 넣은 부분이지요. 제가 집필 과정을 보거나 참여한 것은 아니지만, 이 부분에 대해 상당히 오랜 기간 고민 끝에 내린 결론이었습니다. 아마 집필진들에게는 최선이 아니었을까 싶네요.
그럼 남은 기간 열공해서 건승하세요^^
"일단 도함수의 부호가 좌우에서 바뀌면서 도함수 좌우의 극한값이 존재한다면, 그것의 극한값은 필히 0이 되어야하므로 다르부의 정리에 의해 f'(a)=0이어야 합니다."
부분이 오해의 소지가 있어서 남깁니다. "y=lxl의 경우 도함수의 우극한은 1, 좌극한은 -1이지 않나요? 좌우극한도 존재하는데 0은 아닌데 말입니다..."라고 오해하실 수 있으나, 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수에서 저러한 일은 벌어질 수 없습니다. 왜일까요? 미분가능한 함수이므로 당연히 0에서도 미분가능하여 f'(0)이 존재합니다. 또한 다르부의 정리에 의하면 f'(a)=1/2인 a가 0의 좌극한과 우극한 사이의 어딘가에 존재해야하는데, 그러한 일은 벌어질 수 없습니다. 그 값이 0이 아니냐고요? 그렇다면 한 번 더 다르부의 정리를 사용하여 f'(a)=-1/2인 점도 찾아봅시다. 이번에는 0이 될 수 없겠지요? 따라서 모순입니다. 즉, 0에서 미분가능하지 않은 경우와 가능한 경우는 다르부의 정리가 성립하지 않냐, 성립하냐의 큰 차이가 있기 때문에
위에 써놓은 f'(a)=0일 수밖에 없게 되는 것입니다.
오 도함수가 불연속이면서 부호는 바뀌는 상황에 대해서 계속 그려보면서 도함수극한값이 0으로 가야만하지않나.. 라면서 직관적으로만 생각하다가 결론을 어떻게 내야하나 하고있었는데(ㅠㅠ)친절한 답변 감사합니다. 질문한 학생은 아니지만, 저도 많이 배워갑니다. 감사합니다
한글파일 작성하느라 애쓰셨습니다. 배우시려는 의지를 보니 앞으로 크게 되실 것 같네요^^
덧붙여 도함수가 불연속이면서 부호가 바뀔때에는 저는 답변을 단 적이 없답니다. 스스로 치열하게 고민해보시고 결론을 내려보세요. 님도 건승하시길
Hint)f(0)=0, f(x)=x^2sin(1/x)+x/2는 0 주변에서 부호가 계속 바뀌는가? 0에서의 미분계수는?