(초스압) 미분방정식을 풀어보자 - 2편

전 편 - https://www.s3-class.orbi.kr/00070807244/(%EC%8A%A4%EC%95%95)%20%EB%AF%B8%EB%B6%84%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D%EC%9D%84%20%ED%92%80%EC%96%B4%EB%B3%B4%EC%9E%90%20-%201%ED%8E%B8

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-똑같이 y=Ce^λx라고 두고 λ에 대한 방정식을 풀면 돼. 근데 여기서 허수가 나오네? λ가 허수가 나올 때 y는 어떻게 나오는지 기억하지? 

-바로 이거야.

-잠깐, 저 iv는 뭔 뜻이야?

-y를 x에 대해 4번 미분했다는 뜻이야.

-똑같이 λ에 대해 풀면 저런 답들이 나와. 그렇다면 y에 대한 식을 저렇게 세울 수가 있는데, 저게 과연 답일까?

-네가 그런 말을 꺼낸다는 건, 저 답이 틀렸다는 의미지.

-어... 맞아.

-네 말대로 이 풀이는 틀렸어. 그럼 어떻게 고쳐야 할까?

-여기서 λ=0은 중근임에 유의해야 해. 그것까지 고려한다면 저 x항이 추가가 되는 거지. (왜 x가 추가되는지는 1편에서 자세히 얘기했음)

-저 v는 5번 미분했다는 뜻이겠지?

-저것처럼 풀어보면.. 어라? 이번엔 중근으로 허수가 나오네? 그러면 각 삼각함수에 x를 곱한 항이 추가가 된다는 소리지.

-일반해 y_h부터 구해보자. 이 과정에서는 우측의 항들은 무시한다는 거 잊지 말고. λ로 -1이 삼중근이 나오니까 e^-x에는 x, x²항이 추가가 되겠지.

-다음은 특수해 y_p야. 일반해에 있는 항들과 미분방정식 우변의 항들이 서로 겹치는 게 없으니까 특수해의 형식은 저렇게 구할 수 있어. 그러면 계산하면 답이 나오지.

-최종 답 y는 일반해와 특수해를 합한 거라는 거 기억하지?

-일반해를 구해볼까. 저 삼차방정식은 조립제법으로 구해야겠네. 그렇게 구한 값들을 통해 일반해 형식은 저렇게 설정하고..

-일반해의 항들과 미분방정식 우변의 항들이 서로 겹치는 게 없으므로 특수해 형식은 저렇게 세울 수가 있어. 단, y_p=Acosx라고만 두면 안 되고, Bsinx까지 추가해야 해. 이거 꼭 주의하고.

-자, 이제 계산하고 정리하면 y는 저렇게 나오게 되지.

-일반해를 먼저 구해보자. 이번에는 y항들에 각각 x들이 곱해져 있으니 y=x^m이라고 둬야 해. 저 풀이를 봐봐. m을 구하기 위해서 계산해보면 m=1, 2, 3이 나오게 돼. 그러면 일반해는 저렇게 구할 수가 있고. 

-다음은 특수해야. 특수해를 구하기 위한 공식은 보라색으로 저렇게 적어놨고, r(x)는 가장 많이 미분된 y'''의 계수가 1일 때의 우변의 항이므로 r=xlnx지. 저 W는 Wronskian 행렬인 거 기억하지?

-W는 저렇게 구할 수가 있고.

-행렬식을 어떻게 구하는지 모르는 사람들을 위해서 잠깐 설명해줄게. 행렬 A가 있다고 치자.

-A의 행렬식은 detA라고 쓸 수 있어. 그리고 일반 행렬에선 양 끝에 괄호가 있는데, 행렬식에선 작대기 |가 있어. 

-저 부호들은 행렬식을 구하는 데 필요한 개념이야. 이제 본격적으로 행렬식을 구해보자.

-자, 이게 행렬식을 구하는 과정이다. 말로 설명하기 어려우니 그냥 내 풀이를 자세히 보도록.

-행렬식을 구하기 위한 화살표 방향이 꼭 가로 방향이 아니어도 돼. 세로 방향으로 구할 수도 있어. 행렬식을 구할 때는 0이 포함되어 있는 행 또는 열을 기준으로 구하는 것이 좋아.

-W₁은 W의 1열에 저런 숫자들을 집어넣은 거야. 이때 맨 밑의 자리에는 1을, 나머지 자리에는 0을 넣어야 해. 

-W₂는 W의 2열에 저런 숫자들을,

-W₃은 W의 3열에 저런 숫자들을 넣은 거지.

-이제 특수해 y_p를 구하기 위한 열쇠들을 모두 획득했으니, 공식에 다 대입하고 계산을 해보면 되는데.... 

-적분해왔다... 그럼 특수해가 저렇게 나오게 되고?

-결국 y는 일반해와 특수해를 합한 저 꼴이 되겠지.

-이게 네가 풀 문제다.

-일반해 y_h를 구해볼까. 미분방정식의 y계수들에 x들이 포함돼있으니, y=x^m이라고 둬야겠네. 게산하면 m=1, 2, -1이 나오니까, 그걸 통해서 일반해의 형태를 구할 수 있어.

-다음은 특수해 y_p를 구하기 위해 형태를 잡아보고 싶은데, 우변의 항이 x^자연수꼴이 아니므로 "그 공식"을 써야겠네. r은 y'''의 계수가 1일 때 우변의 항 즉, x^-5겠네. W까지 구하면 W=6/x일 거고.

-자, 그럼 이제 제일 귀찮은 과정이다. W₁, W₂, W₃를 구하는 거다. 이건 풀이를 봐봐. 말로 설명하긴 입아프다..

-특수해를 구하는 공식에 지금까지 구한 것들을 싸그리 다 집어넣으면 특수해가 나오게 된다.

-일반해와 특수해 모두 구했겠다, 서로 합하면 우리가 원하는 y의 식이 도출된다.

-먼저 저 연립미분방정식은 행렬들로 나타낼 수 있어. 근데 이것만으로 뭐 어쩌라는 건지 알 수 없지. 그래서 우리는 y행렬이 어떤 식의 집합을 포함할지 생각해봐야 해.

-그냥 y가 행렬 xe^λt라고 가정해보자!

-그렇게 가정한 이유가 있을 거 아냐

-미분방정식들의 형태를 고려해보면 xe^λt라고 두는 것이 가장 이상적이니까.

-y'=Ay라고 했으므로 y=xe^λt 식과 함께 위와 같이 종합하여 정리하면 λx=Ax가 나오게 돼.

- λx=Ax에서 x는 행렬이므로 약분해서 λ=A ㅇㅈㄹ하면 큰일나. 위처럼 정리해야 해. 아, 0은 그냥 정수 0이 아니라 모든 성분이 0으로 구성된, 소위 영행렬이고, I는 우측처럼 주 대각선의 성분이 모두 1이고 나머진 다 0인 즉, 단위행렬을 말해. 정리하다보면 x₁과 x₂에 관한 연립방정식이 나오게 돼.  

-여기서 x₁과 x₂의 비에 관해서 식을 정리하면, 저 빨간 식이 나오는데, 이걸 간단히 정리하면 det(A-λI)=0이라는 중요한 공식이 나오게 돼.

-우선 행렬 A가 뭔지 파악해두고, 아까 구했던 공식을 통해서 λ를 구해내.

-그 후, 구했던 λ에 따른 x₁과 x₂의 비를 찾아내서, y의 꼴이 저 파란 식으로 나타난다는 걸 인지하여 지금까지 구한 데이터들을 다 대입하면 돼. 글씨의 굵기에 따라 행렬인지, 상수인지 의미가 달라지니 주의하고!

-똑같은 방법을 통해서 λ를 구하면 이번에는 중근이 나오는 걸 확인할 수가 있지. 이때는 또 다른 접근법이 요구돼. 이런 경우 때문에 내가 풀어줘야 한다는 거야, ㅇㅋ?

-저런 미분방정식을 풀 때 λ가 중근이 나오면 저런 식으로 항에 x를 곱한 걸 추가했었잖아.

-여기서도 비슷한 접근을 사용할 거야. 이때 행렬 y₂에는 xte^λt뿐만 아니라 ue^λt까지 포함시켜야 한다는 점 주의해라!  그리고 여기에선 해 행렬 y=c₁y₁+c₂y₂ 꼴로 표현해서 풀이할 거야. 

-행렬 y₂를 이용하여 위와 같이 정리하다보면, 또 새로운 공식 (A-λI)u=x가 만들어지게 되지.

-먼저 λ=9 (중근)임을 확인한 후, 그에 따라 x₁과 x₂의 비를 구해.

-y₁은 저 우측의 파란 식으로 나타날 거고, 이제 y₂를 구하기 위한 작업 설계에 들어가야겠지.. 방금 구한 공식 (A-λI)u=x에 모든 데이터를 넣어보자. 아차, 이때 x₁=1, x₂=-1이라고 정해뒀어. u를 구할 때 x₁, x₂는 가장 간단한 수로 표현하는 것이 제일 좋아. 그러면 u₁, u₂의 정보를 얻을 수가 있지.

-그렇다면 y₂의 형태는 저렇게 나타남을 알 수 있어. 근데 자세히 보면 te^9t항이 겹치는 게 있음을 알 수 있지? 최종 해를 구할 때 저 둘을 합쳐서 정리할 거야.

-즉, 최종 정답은 저런 식으로 표현되지.

-똑같은 방식으로 λ를 구하면 이번에는 허수가 나옴을 알 수 있어. 그렇다면 λ가 서로 다른 두 실근을 가지는 경우랑 같은 풀이를 이용하여 y가 저렇게 표현된다는 걸 확인할 수 있지. 

-결론부터 말하면, 안 돼. 오일러 공식을 활용해서 식을 수정해야 해. 

-y₁과 y₂의 식을 위와 같이 정리하면.. 서로 겹치는 계수가 보이지?

-어? 그러네, a+b랑 ai-bi.

-그치. 그러면 이제 뭘 해야 되겠어? 저 두 계수들을 치환해야지.

-바로 이런 식으로 말야!

-자, 똑같은 방법으로 풀어보니 λ가 서로 다른 두 실근이 나왔네? 그러면 상황이 엄청나게 단순해지지!!! x₁, x₂의 비율을 구한 다음, 해 y₁, y₂의 형식을 구해.

-그런데 함숫값이 주어져 있으니 식들을 다시 수정하면 진짜 최종 식이 나오게 되지.

-침착하자, 단지 y가 하나 더 추가됐을 뿐이야. 똑같은 방법으로 풀면 돼. 이번에는 λ가 허수가 나오네.

-각 x들의 비율과 값을 구하는 과정이 조금 번거롭긴 한데, 그래도 풀이 방식은 y가 2개일 때랑 똑같으니 뭐..

-그러면 해 행렬 y는 저런 식으로 표현될 거야. 그런데 이걸로 끝내면 안 되고 오일러 공식을 이용해서 수정해야 해.

-정리하고... 겹치는 계수들을 확인하고...

-겹치는 계수들을 모두 치환하면 최종적으로 y₁, y₂, y₃를 구할 수가 있게 돼. 

-이번에는 일반해와 특수해의 조합을 활용할 거야.

-먼저 미분방정식을 행렬들로 표현하고..

-일반해를 먼저 구해보는 거지. 이때 일반해를 구할 때는 행렬 g를 고려하지 않을 거야. 그러면 이전 유형과 똑같은 풀이를 통해 일반해를 쉽게 구할 수가 있겠지.

-다음은 특수해야. 이번에는 행렬 g도 고려해야 해. 그러면 새로운 식(맨 위의 빨간 식)이 만들어지지. 이때 g와 y_h에서 서로 겹치는 항이 존재하는 거 보여? 이 점을 고려하여 특수해의 형태는 저렇게 나타낼 수가 있어. 정리 과정은 내가 적어둔 풀이에 있으니 그걸 봐. 말로 설명하려고 하면 괜히 더 복잡해지겠다...

-계수 비교를 통해서 얻은 조건들을 통해서(좌측의 빨간 식들) 행렬 u와 v를 구하면 돼. 이때 u는 정확한 값으로 구성된 행렬이 나오는 반면, v는 그렇지 않다는 것에 주의하고.

-자! 이게 최종 답이다!!

-잘 봐라, 한 번 더 놓치면 그땐 뒤지도록 맞을 줄 알아.

-아, 알았어...!

-우선 미분방정식을 행렬에 대해서 정리해. 여긴 누워서 떡 먹기 수준이지?

-누워서 떡 먹으면 목에 걸려 뒤져 ㅄ아

-아가리.

-이제 일반해를 구해. 저 행렬 g는 무시하고 λ에 대해 푼 뒤, 구한 λ를 통해 x들의 비율도 구해서 정리하면 돼. 여기까진 별 문제 없지?

-ㅇㅇ

-이제 특수해 차례야. 여기선 행렬 g도 고려해야 해. 일반해의 항과 행렬 g의 항이 서로 겹치는 게 없네? 그럼 특수해 형태를 손쉽게 정할 수 있고, 위의 풀이처럼 정리하면 두 조건이 나오게 돼. 저 맨 밑의 빨간 식들 보이지?

-저 cost일 때 Q=AP+뭐시기 그거?

-그래 그거요

-행렬 P와 Q는 각각 저 2×1 크기의 형태로 두고 풀어볼 거야.

-왜 하필 그 크기야?

-아까 조건에서 Q=AP+(10; 0)에서 A의 크기가 2×2인 거 알지? 그러면 행렬곱의 정의에 따라서 행렬 P의 행의 개수는 무조건 2개가 돼야 해. 그리고 끝에 크기가 2×1인 (10; 0)이 있는데, 행렬의 합에선 두 행렬의 크기가 서로 같아야 하므로 행렬 P의 열의 개수는 1개여야 해.

-ㅇㅎ

-자! 이제 계산해보자! 연립방정식의 계산 과정은 불필요하니 생략했다! 결국 일반해와 특수해까지 구해냈으므로...!

-그 두 해를 서로 합하면 최종 답이 나오게 된다!!!

-자, 지금부터 새로운 방법을 설명하겠다. 먼저 미분방정식을 행렬에 대해 표현하는 건 똑같아.

-일반해를 구하는 것도 동일하고 말이야.

-이제부터 진짜다. 구한 일반해를 더 심화된 행렬로 표현하는 거지. 이걸 우측과 같은 행렬곱으로 정의하는 거고. 특수해 표현도 밑에 보라색 식으로 적어놨어. 단, c는 t에 대한 함수를 포함하지 않는 단지 일반해의 각 항의 계수(상수)로만 구성된 행렬임에 주의해.

-다음으론 특수해를 사용한 식을 정리하는 거야.

-일반해를 사용한 식도 정리하고 말이지. 그럼 식 Y'=AY가 얻어지게 돼.

-아 식 정리 과정 집중해서 보게 조용히 좀 해봐요

-Put a freaking sock in it. (입 처다물어.)

-식 Y'=AY를 얻었으니 특수해를 이용하여 정리한 식을 수정하는 게 가능해. 그러면 식 Yu'=g가 얻어져.

-Y를 우변으로 넘기면 저 우측 빨간 식이 생성돼. 이제 역행렬을 구해야 하는데....

-...역행렬이 뭔지 모르는 분들도 계실 테니 잠깐 설명하고 이어서 갈게.

-...시작하기 전에 기억해야 할 게 있어. 역행렬을 구하기 위해서는 그 행렬이 반드시 정사각행렬이어야 해. 행과 열의 수가 서로 같아야 한다는 말이야.

-먼저 2×2 크기의 행렬의 역행렬을 구하는 방법이야. 저 adjA가 바로 딸림행렬이라는 건데, 자세한 건 3×3 크기를 다룰 때 설명할 게. 이 역행렬이라는 건 딸림행렬/행렬식 이라는 식으로 구할 수 있어.

-...눈치챘어? 만약 행렬식 detA=0이라면 무슨 일이 벌어지는지..?

-!!! 역행렬이 존재하지 않는다는 말이야?

-그래. 행렬식이 0이 되는 순간, 그 행렬의 역행렬은 존재하지 않게 된다.

-미안한데 너 방금 중2병 걸린 ㅅㄲ같았어;;

-각설하고, 다음은 3×3 크기의 행렬이다. 먼저 행렬식부터 구해보자. 보기 좋게 각 성분들에게 다양한 색깔을 입혔다. 계산 결과, 행렬식이 0이 아니므로 역행렬은 존재한다.

-다음은 딸림행렬. 이거는 그림을 봐봐.

-너무 알록달록한 게 마치 크리스마스 트리같네

-마지막으로 딸림행렬의 모든 성분들을 행렬식으로 나누면 비로소 역행렬이 만들어진다.

-이제 Y의 역행렬 Y^-1을 구해보자. 2×2의 크기이므로 좀 수월하게 구할 수가 있지.

-그러면 u' 행렬도 위와 같이 구할 수가 있어.

-이제 이 행렬을 적분해보자. 정확히는 행렬 성분들을 적분한다는 거지. 왜 하필 0부터 t까지 적분하는 건지는 나도 잘 모르겠지만..

-아니 네가 모르면 안 되지

-아무튼 u 행렬도 구했겠다, 특수해를 구해보자고.

-그러나 일반해와 특수해에서 서로 겹치는 항이 있으니 두 해를 합할 때 이 항을 흡수(?)시키면 위처럼 해 y가 나와.

-이 방식을 통해서 얻은 답(아래)을 이전에서 얻은 답(위)과 한번 비교해보자. k=-2일 때의 답이 나왔네. 그리고 b와 b'은 결국 같은 꼴이고 말이야. 

-행렬로 나타내고..

-일반해를 구하고...

-일반해에는 오로지 e^λt만이 있었고, g엔 그런 항이 없으니 특수해는 저런 형태로 표현할 수 있고.. 식을 정리하고 계수들을 비교해가면서 얻은 3개의 조건들을 살펴보고...

-각 행렬의 성분들을 미지수로 나타내고 전에 구한 3가지 조건들에 맞춰서 미지수들을 몽땅 구하면 결국 특수해를 얻게 되고..

-일반해와 특수해를 합하면 비로소 최종 답이 나오게 되지..

-ℒ(f(t))=F(s)의 정의는 위와 같은 식으로 표현돼.

-아까 보여준 ℒ(f)의 정의를 토대로 ℒ(e^at)를 구해보자. 이건 그냥 단순한 적분 문제야. 이때 s-a>0이어야 하는데, 그래야만 적분이 수렴하기 때문이지.

-이거야.

-뭐야 진짜로 단순하잖아

-이 성질은 증명이 매우 쉬우니 한번 훑어봐.

-그럼 이제 ℒ(coswt)를 구해보자.

-...과정이 너무 더럽다.

-과정은 단순하지 않네

-ℒ(coshat)는 그래도 풀이 과정이 좀 봐줄 만 하네.

-아무튼 이것이 바로 라플라스 변환표이다. 이 정도는 외우고 있어야 해. 매우 중요하니까.

-감마 함수는 저렇게 나타낸다. t^z가 아니라 t^z-1임에 주의하고.

-이 감마 함수의 식을 통해서 ℒ(t^a)를 한번 직접 구해보자. 그러면 라플라스 변환표에 있는 식과 일치하는 결과가 나오게 된다. 이때 Γ(a)가 절대 아니고 Γ(a+1)이다!!!

-여기서 a가 n 즉, 0 이상의 정수라면 어떨까? Γ(n+1)=n!이라고 하니까 그대로 저 식이 나온다는 걸 알 수 있어.

-왜 Γ(n+1)=n!이지?

-내가 그걸 어케 아냐 미친 놈아

-바로 이거야. f(t)에 e^at가 곱해진 함수를 라플라스 변환을 시키면 ℒ(f)=F(s)일 때 ℒ(e^atf(t))=F(s-a)야.

-이것 역시 증명 과정은 어렵지 않아.

-ℒ(cos²wt). cos²wt는 저 파란 식으로 나타낼 수 있음에 유의하고, 쪼개고, 라플라스 변환표를 참고하면 최종 답을 쉽게 구할 수 있어. 무려 적분할 필요 없이!!

-다음은 이거야. 이건 어쩔 수 없이 일일이 적분을 해야ㄱ-

-야!!!!!!!!!!!!!!!!

-ㅋㅋㅋ 그냥 이렇게 쪼개면 손쉽게 해결될 걸 괜히 적분하고 앉아 있었넼ㅋㅋ;;

-다음. 먼저 ℒ(t²)를 구하고, 다음으로 t²에 e^-3t를 곱한 것을 라플라스 변환한 걸 구해야 하는데, 이 경우에 관한 공식은 파란 글씨로 중간에 적어놨어. 게임 끝.

-ㅆㅂ

-먼저 이거 같은 경우에는 ℒ(t)의 꼴로 보이고, 분모 자리가 s가 아니라 s+π인 걸 보아 함수에 e^-πt가 곱해져 있단 걸 눈치챌 수 있어.

-이거는 부분분수를 이용해야겠어.

-오오, 그걸 바로 떠올린다고?

-날 너무 과소평가했군. 아무튼 라플라스 변환표와 F(s-a) 공식에 의거하여 역변환 결과는 맨 밑의 빨간 식임을 알 수 있군.

-이거는 분자를 서로 쪼개서 생각해봐야겠네. 각각 cos, sin형태임을 눈치챌 수 있으면 바로 풀리는 거지 그냥! s+k에 의해 함수에는 e^-kt가 곱해져 있단 것도 잊지 말고!

-...이거야.

-먼저 ℒ(f'(t))야. 중간에 부분적분을 사용했어.

-다음은 ℒ(f''(t)). 이때는 위에서 구한 ℒ(f'(t))의 식을 응용하면 금방 나와.

-이렇게 계속 하다보면 ℒ(f⁽ⁿ⁾(t))의 식도 구할 수가 있지.

-이건데, 이걸 한번 증명해보자고.

-g'(t)=f(t)라고 두고, 미분에 관한 공식까지 활용하면 위처럼 공식 하나가 완성되지.

-f(t)=tcos4t라고 두고, f', f''까지 구한 다음, 미분에 관한 공식을 활용하여 변환식을 구하면 돼. 보아하니 여기는 f(0), f'(0)까지도 구해야겠네. 그러면 저렇게 간단하게 구할 수 있어. 

-다음. 여기서는 f'과 f(0)만 구해도 충분하겠네. 핵심은 라플라스 변환표에 있는 함수 또는 변환하고자 하는 함수만으로 표현할 수 있는 함수가 나타날 때까지 계속 미분하는 거야. 대부분 f''까지만 구해도 충분하지만.

-다음이다. 이 경우 역시 f', f(0)만 구해도 되겠네. f'에서 바로 라플라스 변환하기 쉬운 식이 나타나니까.

-이건 조금 복잡해보이네. 우선 미분할 수 있는 데까지 미분해보자. 근데 잠깐. f''에서 라플라스 변환하고자 하는 함수 sin⁴t와, 전 문제에서 구한 sin²2t (w=2)가 둘 다 포함돼있네? 그렇다면 미분은 여기서 멈추고, 미분 관련 공식에 의해서 ℒ(sin⁴t)를 위처럼 구할 수가 있게 되는 거지.

-이것도 미분할 수 있는 데까지 미분하고, 미분 공식과 라플라스 변환표를 참고하면 금방 풀 수가 있겠네.

-이것도 마찬가지고. 솔직히 말로 설명하는 것보다 위 풀이를 보는 게 더 좋겠지? 어휴 힘들어

-이걸 어떻게 라플라스 변환으로 푼다는 걸까...?

-먼저 ℒ(y(t))=Y(s)라고 둔다. 그리고 주어진 미분방정식의 양변을 라플라스 변환하면 저것처럼 Y(s)의 형태를 구할 수가 있게 되지.

-그리고 구한 Y(s)의 식을 부분분수를 통해서 쪼개면 라플라스 역변환하기가 더 수월해지지. 각 계수를 비교해서 미지수를 구한 다음, 역변환을 하면 그것이 최종적인 답이 된다.

-이걸 풀 자신이 있어? y(0)이 아닌 y(4)인데?

-...못 풀지만,

-이 문제는 조금 까다로워. 저 특수문자 y를 타자로 치기가 어려우니 그냥 γ라고 둘게.

-아니 너무 다르잖아ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

-어쩔 수 없잖냐.. 아무튼 미분 공식은 함숫값의 t에 0을 넣었을 때만 유효하니 t=4일 때 T=0이 되도록 해야 해. 그러면 t=T+4라고 둘 수가 있지. 그리고 γ(T)=y(t), Y(s)=ℒ(γ(T))라고 정하는 거야.

-근데 t=T+4라고 둔 곳에서, t=cT+4라고 두지 않은 이유가 뭐냐?

-γ(T)=y(t)라고 했지? t, T의 계수가 각각 1로 같아야만 미분할 때 계수가 서로 1로 일정하게 유지돼서(γ'=y', γ''=y'', ...) 미분 공식을 적용하기가 편리하니까. 

-글쿤

-아무튼 y를 γ로 바꾸고 양변을 라플라스 변환하면 Y(s)의 식을 얻을 수 있지. 이때 Y(s)=ℒ(γ(T))임을 한 번 더 상기하도록 해. 절대 Y(s)=ℒ(γ(t))가 아니야.

-Y(s)의 식을 부분분수를 이용해서 분리하고 역변환을 시켜. 근데 이게 끝이 아니야. t=T+4, ℒ^-1(Y(s))=γ(T)라고 했으므로 T를 t에 대해 다시 바꿔야 해. 그리고 γ(T)=y(t)이므로 바꾼 식을 저거 그대로 쓸 수 있어. 따라서, y(t)는 저 보라색 식이다.

-우선 이것부터 풀어봐!

-먼저 ℒ(y(t))=Y(s)라고 두고, 미분방정식의 양변을 라플라스 변환시키고 정리하면 Y에 관한 식을 얻을 수 있-

-...잠깐만.

--그냥 위 그림을 보고 알아서 이해해라... 계수 비교하고, 역변환하고.. 그게 끝이니까.

-이거다.

-그 문제군. y(0)이 아닌 거 말이야.

-우선 t=-π일 때 T=0이어야 하고, 미분 공식을 적용하기 수월해야 하므로 t=T-π라고 둔 다음에, γ(T)=y(t), ℒ(γ(T))=Y(s)라고 정하자. 그리고 미분방정식의 y를 모두 γ에 대해 바꾸고, 우변의 -cost를 -cos(T-π)=cosT라고 바꾸면 돼. 그러면 Y(s)에 대한 식을 구할 수 있지.

-이제 거지같은 부분분수 정리 과정에 들어가고 나면, Y(s)의 최종 형태를 구할 수가 있어. 이때 이걸 역변환한 결과가 γ(t)가 아니라 γ(T)라는 걸 알아둬. 이제 γ(T)=y(t), t=T-π이니까 다시 수정하면 y(t)를 결국 저런 식으로 나타낼 수가 있지.

-자, 이게 헤비사이드 함수(Heaviside function)라는 거다. 단위 계단함수라고도 부르지. 그러나 여기서 우리는 u(0)의 값에 대해서 다루지 않을 거야. 이 값에 관한 논란이 있거든.

-이 계단함수를 라플라스 변환시킨 결과는 저거라는 거 알아두고. 이때 u(t-a)는 t>a에서 1이고 t<a에서 0이니 적분 구간을 저런 식으로 바꾸고 u(t-a)를 생략할 수 있어.

-자, 그럼 여기서 퀴즈다. 이 함수를 헤비사이드 함수로 표현한다면 어떤 식이 나올까?

-좌측의 3개의 함수들을 모두 합한 결과가 바로 우측의 그래프야. 이제 알겠어?

-자, 다음은 함수 f(t-a)에 헤비사이드 함수 u(t-a)를 곱했을 때야. 이 함수의 라플라스 변환 결과는 저렇게 나와. 증명해줄게.

-u(t-a)가 t>a에서 1, t<a에서 0임을 통해 적분 구간을 a부터 ∞까지로 바꾸고 u(t-a)를 생략할 수 있어. 그리고 치환적분을 통해 최종적인 결과를 도출해낼 수 있고.

-저 경우처럼 f(t)u(t-a)의 라플라스 변환을 구할 때는 저 공식이 무의미해진다는 거야.

-저렇게 구해져!

-이것도 똑같은 방법으로 증명할 수 있어! u(t-a)의 범위를 고려하여 적분 구간을 변경하고, 치환적분하고. 끝!

-까먹기 쉬운 형태의 공식이라서 우측 위에 공식들을 적어놨어. 0<t<π인 cost를 헤비사이드 함수를 활용해서 표현하면 두 번째 빨간 식이 나타나는 걸 확인할 수 있지. 저 식을 공식들을 참고하면서 라플라스 변환시키면 답이 금방 나오는 걸 알 수 있지?

-다음 문제. 주어진 함수를 헤비사이드 함수로 나타내고, 그 나타낸 식을 라플라스 변환시키면 저 식이 정답이란 걸 알 수 있어.

-다음 거야. 이것도 똑같은 방식으로 구하면 돼. 점점 익숙해지고 있지?

あの赤い男は彼を侮辱するべきではなかった。 

今、彼を見ていると、彼は今、混沌とした状況にあります。

彼はこれをどのように解決しますか？

ああ、気にしないで。 彼はついに死んだと思う。

-우선 저 그래프를 헤비사이드 함수로 표현하고, 헤비사이드가 포한된 함수의 라플라스 변환 공식은 저기 우측 상단에 적어놨으니 참고하고, 그걸 통해 아까 표현한 함수를 라플라스 변환시키면 답이 나오게 되지.

-먼저, 여기서는 ℒ(f(t-a)u(t-a))=e^-asℒ(f(t)) 공식만 쓸 거야. 저 역변환 내부 함수가 e^-asℒ(f(t))꼴이라고 여길 것이기 때문이지. e^-3s을 통해서 a=3이란 걸 먼저 알아내고, f(t)가 뭔지 파악하고, 그 다음에 저 공식을 활용해서 역변환 결과를 구하면 해결되는 거지.

-다음 문제. 이거는 그냥 저렇게 쪼개서 각각 역변환 결과를 구하면 돼. a가 뭔지 파악하는 것도 잊지 말고. ㅇㅋ?? 이제 네가 해봐라!

-ㅔ

-휴... 식도 복잡하고 풀이도 복잡한 문제였어.. 우선 분자들을 쪼개서 나온 2개의 식들을 각각 역변환시켜야 해. 왼쪽 식은 비교적 간단하게 나오고. 오른쪽 식이 문제지.. 저 e^-2π(s+1)ℒ에 속지 말고 e^-2πs와 e^-2π로 쪼개서 생각해보자. e^-2πs에 의해서 a=2π라는 걸 알 수 있으니 게임은 금방 끝나게 되겠군. 아, 그리고 마지막에 식을 더 간결하게 수정한 거 봐봐.

-별 거 없어. 그냥 미분방정식 우측에 있는 함수를 헤비사이드 함수로 표현한 다음에, 그렇게 수정한 미분방정식의 양변을 라플라스 변환하고, Y(s)를 구하면 돼. 그 과정을 거쳐서 나온 Y(s)가 뭐냐면

(씐나는 부분분수 분해 시간)

(아주 아주 즐거워서 다 때려치고 싶어지죠)

-자, 부분분수 분해 작업을 끝냈으니, 다시 식을 정리해보자. 그러면 답이 저렇게 나와..

-다음은 이거다.. 이번엔 y(0)이 아니지?

-저번 문제들처럼 똑같은 방식으로 접근해보자. t=T+1이라고 두고, γ(T)=y(t), ℒ(γ(T))=Y(s)라고 하자. 그리고 주어진 미분방정식을 변형한 후 양변에 라플라스 변환을 적용하면 맨 밑과 같은 식이 나와. 그런데 저기 빨간색으로 강조된 u(T+1) 보여? 아까 내가 설명한 개념을 다시 한번 살펴보자.

-a>0일 때 ℒ(u(t-a))를 구할 때 적분 범위가 0부터 ∞까지이므로 그 범위를 a부터 ∞까지로 수정할 수 있다고 했지. u(t-a)는 생략하고.

-근데 a<0일 때 ℒ(u(t-a))를 구할 때에는 적분 범위가 0부터 ∞까지이고 u(t-a)가 t>0>a일 때 1이잖아. 그러니까 적분 점위는 그대로 두되, u(t-a)를 그냥 생략할 수 있어서 결국에는 a<0일 때 ℒ(u(t-a))랑 ℒ(u(t))랑 서로 같단 걸 알 수가 있지.

-그럼 이걸 이용해서 식을 다시 수정하자. 계산하고 정리하면 Y(s)의 식이 맨 밑의 빨간 ㅅ...

-부분분수 작업이 제일 ㅈ같아 ㅆㅂ 여긴 말로 설명할 가치도 없다

-또 다시 부분분수 분해하고.. 에휴

-여긴 그래도 작업이 간단하네

-γ(T)가 저렇게 주어지는 걸 확인할 수 있는데 저게 끝이 아냐.. t-1=T이라고 했으므로 저 식에 T대신 t-1을 대입해서 일일이 정리해야 해

하 너무 즐거워

즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워즐거워

-다시 t와 u에 대해서 정리하면 y(t)가 나오게 된다.....

-위와 같은 함수를 고려해보자. a≤t≤a+k일 때 1/k이고, 나머지 구간에선 다 0인 함수 말이야. 이때 저 그래프의 영역의 넓이는 항상 1이야.

-여기서 디랙 델타 함수가 바로 저 k가 ∞까지 갈 때의 함수야. 이 함수의 그래프를 대략적으로 보여줬는데, 저건 정확한 표현이 아닌 걸 명심해. 저보다 더 엄밀한 표현은 맨 밑에 빨간 글씨로 적어놨어.

-먼저 f_k(t-a)를 라플라스 변환시킨 다음에, 그 k를 무한대로 보내버리는 거지. 그러면 ℒ(δ(t-a))=e^-as라는 결과가 도출돼.  

-아까 그 라플라스 변환 공식을 가지고 위와 같이 쉽고 간편하게 풀 수가 있지! 

-헤비사이드 함수의 라플라스 변환 공식은 다음과 같다.. 제발 좀

-양변을 라플라스 변환시키고 Y(s)를 구하면 저딴 식이 나오고..

-첫 번째 식의 역변환은 금방 구할 수 있고...

-두 번째 식이 개Tlqkfqudtls걸레찌끄레기버러지w밥쓰레기같네

-부분분수를 이용해서 정리한 식을 본격적으로 라플라스 역변환하면 최종적으로 밑의 빨간 식이 나오게 돼.

-자, 최종 답이다.

-ㅆㅂ 설마 저 미친 문제에 나오는 개념!!!??

-Yes

-h=f*g라고 할 떄, 이 식은 저 보라색 식으로 정의돼. 단, *는 합성함수 기호가 아니고, 곱셈 기호 또한 아님에 주의하도록 해. 단지 새로운 컨볼루션 기호일 뿐이야.

-또한 ℒ(h)=ℒ(f*g)=ℒ(f)ℒ(g)가 성립하는 반면, ℒ(f)ℒ(g)는 ℒ(fg)랑 같지 않다는 걸 주의해.

-우선 ℒ(f)와 ℒ(g)를 각각 F(s), G(s)로 나타내자.

-그리고 G(s)의 적분식에서 치환적분을 적용해서 새로운 적분식으로 만들 거야. 아까 보여준 컨볼루션 공식의 형태(g(t-τ))로 말이야. 이때 어떤 변수가 적분변수인지 잘 살펴봐야 한다!!

-이제 F(s)G(s)의 형식을 정리해보면 저런 빨간 식이 나옴을 알 수 있어.

-...그런데 f(τ, t)=e^-stf(τ)g(t-τ)라고 두면 적분 영역 R의 범위가 저렇게(0≤τ≤∞, τ≤t≤∞) 나타난다는 거 보여?

-? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

-네 눈빛을 보아하니 이중적분에 대해서 설명해줘야겠네... xy평면 위의 영역 R에 대하여 함수 z=f(x, y)의 x, y의 범위가 R이랑 동일할 때, R을 밑면으로 하고 z를 윗면으로 하는 기둥의 부피 V는 우측 식으로 세워진다는 거야. R은 x, y의 범위가 주어져 있고, 그 범위가 바로 적분 구간인 거지.

-그림이 이해가 되지 않을까봐 desmos 3d를 사용하여 직접 그림을 그려줬어. 밑면이 R이고, 윗면이 z=f(x, y)다. 이 정도면 그림 상황이 이해가 잘 가지?

-다시 본론으로 돌아가서, 적분 범위를 살짝 변형시켜보는 거야. 0≤τ≤∞일 때 τ≤t≤∞이라면 0≤t≤∞일 때는 0≤τ≤t가 되는 거야.

-이걸 통해 F(s)G(s)의 식도 저렇게 변하게 돼.

-저 중간의 빨간 식을 h(t) (=f*g(t))라고 잡으면 결국 F(s)G(s)=H(s)=ℒ(f*g(t))임을 보일 수 있지.

-먼저 이거. 변수 t와 τ를 구분하는 것이 매우 중요하기 때문에 공식을 우측 상단에 보라색으로 강조해줬다. 적분변수가 τ라는 것에 주의하면서 적분을 풀면 답이 나오게 되지.

-다음. 이 경우엔 f(t)=1이므로 f(τ)=1이겠지. 만약 g(t)=1이라고 쳐도, 결국 상수함수이니까 g(t-τ)=1로 유지돼. 적분변수가 뭔지 항상 집중해서 보도록 해!

-적분변수가 t가 아니라 τ라는 것만 조심하면 그저 단순한 적분문제네, 뭐..

-컨볼루션에서는 교환법칙이 성립한다는 거야.

-증명은 간단해. 먼저 f*g의 식을 맨 위처럼 세워두고, 그 다음에 g*f의 식을 세우는 거야. 그 후, 치환적분을 통해서 g*f의 적분식과 f*g의 적분식이 서로 동등함을 보여주면 증명이 끝나. 보라색 식들을 비교해봐. 똑같지?

-그 외에도 저런 성질들이 성립한다고 하더라.

-증명해줘!

-주어진 함수를 두 개의 함수의 곱으로 여기고, 각 함수의 역변환 결과를 일단 적어놔. 그리고, H=FG일 때, h=f*g (다시 한번 강조하지만 *는 단순한 곱셈 기호가 절대 아님)라고 했고, 교환법칙이 성립한다고 했으니, f*g 대신 g*f라고 적고 적분을 시행하면 답이 쉽게 나와.

-이 경우에도 두 함수의 곱으로 나타낸 뒤, 각 함수의 역변환 결과를 구하고, 공식을 참고하여 적분을 시행하면 답이 나오긴 해.

-우선 저 파란 식들만 고려하고, e^-as는 마지막에 고려하면 된다는 거지.

-먼저 두 식의 곱으로 표현하고 그 식들을 각각 라플라스 역변환시켜. 그 뒤, 적분 공식을 통해 답을 구하면 끝.

-다음 거. 이것도 똑같은 방법으로 구하면 돼. 근데 적분 식이 좀 만만치 않다...?

-아 진짜 좀 적당히 처해라

-먼저 저 적분식을 컨볼루션 형태로 바꿀 수가 있어. 그러면 이따가 라플라스 변환할 때 식이 저런 식으로 더 간결해지지 않겠어?

-근데 적분 범위가 저게 아니라면 어떡해?

-...다른 방법을 강구해봐야지 뭐

-바로 실전에 이 이론을 적용해보자. 저 적분식에서 f(t)=y(t), g(t)=t임을 알 수 있네. 그러면 라플라스 변환 결과는 저 세 번쨰 줄의 빨간 식일 거고, Y(s)에 대해 정리 후 다시 역변환하면 y(t)가 바로 나오게 되는 거지.

-이거야?

-간단하지 뭐.. f(t)와 g(t)의 컨볼루션 형태임을 파악하고 라플라스 변환시키면 답이 깔끔하게 나올 거 아냐ㅋ

-야 이 씨ㅂ

-먼저 미분 관련 공식 증명 과정이야. F(s)의 적분 식을 s에 대하여 미분하면 저런 식이 세워지는 것을 통해 미분 관련 공식이 저렇단 걸 알아낼 수 있어.

-다음은 적분 관련 공식. F(s^~)를 주어진 범위(s≤s^~<∞)에서 적분한 걸 위와 같이 적절한 변형을 통해서 맨 밑의 공식을 유도할 수가 있어.

-그러면 방금 보여준 2개의 공식을 이용하여 문제들을 풀어보자. tf(t)꼴이므로 미분 관련 공식을 써야겠지. F(s)=ℒ(f(t))인 거 인지하고. 

-다음 문제에서도 미분 관련 공식을 써야겠구만. 공식만 잘 활용하면 그냥 단순한 미분 문제가 되는 거지, 안 그러냐?

-뭐야 생각보다 단순하잖아?

-이번 문제는 미분 관련 공식을 2번 써야겠네? 그것만 뺴면 특별할 거 없는 문제군.

-먼저 F(s)가 저렇다는 걸 알아두고, 이 식을 s부터 ∞까지 적분한 것이 바로 ℒ(f(t)/t)라는 공식을 사용해야 해. 적분할 때는 치환적분을 썼어. ℒ(f(t)/t)가 저 우측 중간의 빨간 식이란 걸 알았으니 f(t)/t는 역변환을 통해서 구할 수가 있어. t를 우변으로 넘기면 f(t)를 구할 수가 있게 된다.

-다음 문제다. F(s)가 저따구여서 적분하긴 조금 힘들 것 같고, 대신 미분을 시도해보자. 그러면 뭔가 친근한 식(라플라스 변환표에 있는 식)이 나타나게 돼. F를 미분했으니 미분 관련 공식을 쓰면 f(t)를 구할 수가 있어.

-F(s)를 저렇게 설정해두고, 미분이 더 편리할 것 같으니 미분을 해주고, 미분을 했으니 미분 관련 공식을 쓰면 f(t)가 저렇게 간단하게 나오네?

-일단 미분방정식을 행렬 형태로 나타내야 하는 건 기억나. 그리고 저 특정 행렬식이 0이라는 걸 통해 λ의 값들을 알아낸 다음에.... 

-우선 ℒ(y₁(t))=Y₁(s), ℒ(y₂(t))=Y₂(s)라고 두고 풀어보자. 그러면 주어진 연립미분방정식을 모두 라플라스 변환하면 저 새로운 파란색 식이 나타나게 돼. 여기서 우리는 Y₁의 식을 구하고 싶으므로 우측 하단 처럼 Y₂에 대하여 정리를 해보자.

-근데 저기 우측 하단에 s H? 이건 뭐야?

-s+1인데 글씨를 옮기다가 저래 됐나봐. 아무튼!

-그러면 Y₁에 대한 항등식이 나타나지? Y₁에 대하여 정리하면 꽤 간단한 형태의 부분분수가 나오게 되지. 그럼 역변환을 통해 y₁(t)의 식을 구할 수가 있군!

-이제 y₂(t)의 식을 구해보자. Y₁와 Y₂의 관계식으로 Y₂를 구하는 건 꿈도 꾸지 말고, 차라리 주어진 미분방정식에 y₁(t)의 식을 대입해서 정리하는 게 훨씬 더 나아.

-정리하면 y₁(t), y₂(t)의 식은 저렇게 표현됨을 알 수 있어.

-이번에는 헤비사이드 함수가 포함된 연립미분방정식이야.

-음 확실히 행렬로는 풀 수 없겠네...

-풀이 방법은 똑같아. 그냥 라플라스 변환을 시키고 위처럼 정리하면 그만이거든.

-Y₁의 식을 구한 다음에...

-구한 Y₁를 라플라스 역변환시키면 y₁(t)의 식을 구할 수 있어.

-이렇게 구한 y₁(t)를 갖다가 주어진 미분방정식에 다시 대입해서 y₂(t)까지 구하면 그야말로 희희낙락!

-해들을 정리한 결과야.

-네 눈에는 이렇게 보이겠지만

-내 눈에는 이따구로 보인다고요 이 아저씨야

-이러면 풀 수 있지?

-그래. 바로 풀어본다.

-먼저 주어진 상수의 값들을 모두 미분방정식에 대입해서 식들을 정리하자. 그럼 파란 식이 우리가 구해야 하는 미분방정식이 된다.

-동일한 방식으로 주어진 식들을 모두 라플라스 변환해서 연립하면 돼.

-y₁(t)의 식을 역변환을 통해 먼저 구하고. 아, 이때 중간 과정에서 식 전개는 일부러 안 한 거야! 약분하기 더 편하기 위해서 일부러 저렇게 나둔 거야.

-y₁(t)의 식도 구했겠다, 주어진 미분방정식에 이 식을 대입하고 정리하면 y₂(t)도 구할 수가 있어.

-자, 이것이 각 물체의 변위이다. 즉, 두 물체는 서로 대칭을 이루며 단진동 운동을 하게 된다.

-회로가 저렇게 주어져 있고, 초기 전류와 전하량이 0일 때 시간에 따른 전류를 구하라고?

-우선 키르히호프 법칙을 적용해서 전류에 대한 식을 작성해. 이때 축전기에 의한 전위차를 적는 과정에서 적분 구간이 0부터 시작하는 이유는 전류 시간이 0부터 t까지이고, 또 초기 전하량이 0이기 때문이야. 

-걸리는 전압이 저렇게 특정 시간이 지나면 바로 0이 돼버리므로 저걸 헤비사이드 함수로 표현해주고,

-미분방정식의 양변을 라플라스 변환시키면 돼. 이때 중요한 정보들은 윗줄에 2개 적어놨어. 하나는 전류의 라플라스 변환 결과, 또 하나는 저기 적분 형태를 라플라스 변환시켰을 때 나오는 것이야. 이때 컨볼루션의 성질을 활용해서 구했어. 그리고 초기 전류가 0이라고 했으므로 Y(s)는 저런 식이란 걸 알 수 있지.

-자... 이제 부분분수 분해 작업을 실시해보자... 하.....

-예, 저렇게 나오는 군요..

-이제 부분분수한 결과를 이용하여 Y의 역변환 결과를 구해보면 돼. 근데 저걸 최종 답이라고 적기는 뭔가 꺼려. 다시 수정해보자.

-수정 완료. 이것이 이 회로에 흐르는 시간에 따른 전류다.

-전류의 그래프는 이 꼬라지로 생겨먹었고 말이야.

(누가 보면 전쟁이 일어난 줄 알겠네)