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연연하지말고 이연 [1226550] · MS 2023 (수정됨) · 쪽지

2023-04-05 21:59:12
조회수 20,631

[수2] 다항함수 관련 여러 공식과 적분 관련 소소한 팁 (+tmi)

게시글 주소: https://ebsi.orbi.kr/00062612171

안녕하세요!


오늘 제가 알려드릴 내용은 막 심화적인 해석은 아니어서, 그냥 가볍게 읽고 넘어갈 수 있을거에요!

사실 1-2등급이면 대부분 익숙하게 사용하고 있는 내용일거에요..



간단하게 목차부터 이야기해볼게요!


1. 다항함수 적분 관련 공식


2. 다항함수 길이 관련 공식


3. 적분 관련 소소한 팁 (feat. 3월 모의고사 22번)


이렇습니다.


앞으로 소개하는 모든 공식에서 a는 최고차항 계수를 의미합니다!





먼저,  다항함수 적분 관련 공식을 소개해 볼게요!


적분 관련 공식이긴 하지만 대부분이 넓이 관련 공식이죠!


자주 쓰이는 것, 포괄적인 것부터 먼저 소개할게요!



1. 삼차함수 근부터 근까지 넓이 공식(매우 중요)

 진짜 이건 쓸 데가 정말 많아요! 꼭 꼭 꼭 외워두세요!



2. 넓이 관련 공식의 일반화

이차함수와 삼차함수 넓이 공식은 대부분 알고계실텐데요, 일반화된 형태를 외워두면 사차함수 넓이 적분할 떄도 편하답니다! 

(그렇지만 꼭 외워라 정도는 아닌 공식이에요!)



3. 삼차함수의 근부터 근까지 적분 공식

사실 이 공식은 1번에서 소개했던 넓이 공식을 잘 외워두었다면, 그 넓이를 가지고 적분값을 구할 수 있기에 굳이 외우라고 강요하지는 않지만, 그래도 소개해봤어요!



4. 심프슨 공식(일차함수, 이차함수, 삼차함수에 적용 가능)일차, 이차, 삼차함수 적분할 때만 쓸 수 있어요!

심프슨 공식은 적분값을 근사하는 것 관련 공식인데, 사차함수부터는 근사값에 오차가 생기기 때문에 일차, 이차, 삼차함수 적분에만 쓸 수 있답니다.

일차, 이차, 삼차함수에 대해서는 그냥 저 식이 성립한다는 의미입니다!

함숫값으로 적분값을 구할 수 있으니 꽤나 편리하겠죠?

이것도 알아두면 좋지만 꼭 암기해라 정도는 아닌 공식이에요!



5. 공식은 아니고, 암기할 필요도 없는 내용이지만 내신에서 종종 쓰이니 간단하게 이야기하고 넘어가볼 내용

정시러 분들은 알 필요도 없는 내용이 아닐까 싶어요! 그렇지만 제가 내신 준비할 떄 엄청나게 자주봤던 내용이라, 한 번 이야기해봤습니다! (물론 저도 정시러였어요!)




여기까지가 다항함수 적분 관련 공식이었어요!





이제부터는 다항함수 비율관계 관련 내용을 소개해 보려 해요!



1. 삼차함수 관련 공식


수능을 준비한다면 기본적으로 알고 있어야 하는 비율관계죠! 


알고 있으면 편리한 삼차함수 관련 공식들입니다!

외워놓는 걸 추천드려요!



2. 사차함수 관련 공식

함숫값 차이 공식은 안 외워도 상관 없지만, x좌표 차이 비율관계는 외워두는걸 추천드려요!



3. 이차함수 관련 공식

이차함수에 절댓값을 씌운 상황에서 쓸 수 있는 비율관계랍니다!





여기까지 제가 아는 다항함수 관련 공식들을 소개해 봤어요!



먼저 적분, 넓이 관련 공식을 소개하고 함숫값 차이 관련 공식과 비율관계 등을 소개했죠!


이 순서로 이야기한 이유가 있답니다!


알아맞춰 보세요!



바로 마지막 주제인 적분 관련 소소한 팁에 대해 이야기하려고였어요!


원함수의 함숫값 차이는 도함수의 적분값과 같다.



사실 정말 기본적인 내용이죠. 교과서만 봐도 알 수 있을 정도로!


근데 이 내용을 원래 함수의 함숫값 차이 구할때 바로 적용하기 힘들어하는 고3 친구들이 많더라고요!

(몇 달 간의 질문조교 알바와 과거의 저를 통해 얻은 결론입니다...ㅋㅋㅋ)


(참고로 두번째 주제에서 소개한 함숫값 차이 관련 공식은 다 도함수 넓이로 유도할 수 있답니다.)



그래서 지금부터 이 내용을 한 번 이야기해보려고 합니다!


얼마 전 실시되었던 고3 3월 모의고사 22번 문제입니다!


솔직히 22번 치고 해석하기는 쉬운 문항이었다 생각합니다.



그렇지만, 오르비에서도 '상황은 알겠는데 식 세우다 포기함' 이런 내용의 글을 좀 보았고, 학원에 질문조교로 가서도 "이거 상황은 알겠는데 식 간단하게 세우는 방법을 모르겠어요" 라는 질문을 받았었어요!


아마 식 세우고 계산하는데 어려움을 겪은 고3 친구들이 좀 있던 것 같아요!



일단 이 문제에서 주어진 상황은, 

이런 상황이었습니다.


원함수의 극값 차이를 알고, 한 고정된 좌표를 아는 상황이죠!



여기서 제가 2번째 주제에서 이야기했던 공식인  

이걸 사용해서 x좌표 차이를 구해도 됩니다.


근데 솔직히 말하면 이 공식을 소개한 저조차도... 


x좌표 차이의 비율관계만 외우고 다니지 함숫값 차이 공식을 외우고 다니지는 않거든요...



그래서 이 문제를 어떻게 볼 거냐면!


도함수의 적분으로 해석해 볼 거에요!


맨 처음 꼭 외우라고 했던 넓이 관련 공식을 이용해 보겠습니다.


이 공식을 이용하면,


극값을 가지는 x좌표의 차이를 금방 구할 수 있겠죠! (위 그림에서 구한 알파를 의미합니다!) 


사차함수 x좌표 차이 비율관계를 이용해 f(x)의 식 세우는 걸 마무리해 보았습니다!



사차함수 x좌표 차이의 비율관계를 알고있다면, 

으로 f(x)를 구해도 되겠지만, 딱 봐도 귀찮아 보이고 쓸 것도 많고 계산 실수 나오기도 쉬워 보이잖아요! 


(참고로 시험보다가 저런 식을 마주친다면.. 전 무조건 검토한답니다. 계산 실수 나오기 딱 좋은 모양이라!)



어쨌든 도함수의 적분값=원함수의 함숫값 차이를 이용해 해석한다면 생각보다 식이 깔끔해지는 경우가 많답니다.

꼭! 한 번 연습해보세요!




오늘 이야기한 내용은 되게 간단하지만, 자유자재로 쓸 수 있어야 하는 내용입니다.


함숫값 차이를 도함수 적분으로 해석하는 내용은, 이렇게 식 세우는 곳 뿐만 아니라 심화 문제를 해석하는 상황에서도 쓰일 수 있어요! 

(이 내용은 나중에 소개해볼게요)


지금까지 수2 관련 글을 한 번 써봤습니다!


읽어주셔서 감사합니다!



앞으로 기본적인 내용부터 점점 심화시켜가며 수학 관련 글을 써보도록 할게요!




오늘도 tmi를 이야기해보자면, 저는 고3때 제가 몰랐던 해석 방법, 공식들을 노트에 정리해 두었어요! 

한 번에 정리했던게 아니라, 문제 풀다가 나올 때마다 작성했었답니다.

제가 한동안 올리는 내용은 그 노트에 정리해 두었던 내용들일거에요! 히히

기본적으로 알고 있어야 하는 내용이나 무난한 내용부터 적어보고 있어요!

(제가 이런 글 써본지 얼마 안 되어서... 저도 발전해 보겠습니다.)

이게 첫 번째 tmi고, 두 번째 tmi는 최근 검토하는게 하나 더 늘었다는 사실입니다.

뽑힌 건 좀 예전이지만, 그래도 검토 시작하게 되어 매우 기쁘네요! 히히


그럼 진짜로 안녕!

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