0/0 꼴 극한의 해석 (ft. 로피탈의 정리 증명)
게시글 주소: https://ebsi.orbi.kr/00062600708
제목이 0/0은 '영 분의 영'이 아니라 '무한소 분의 무한소' 꼴이라고 읽는 것이 더 적절하다고 알고 있습니다. 무한대와 비슷한 느낌의 단어로 받아들이시면 좋겠습니다. 그럼 시작하겠습니다!
이거 극한 어떻게 구할까요?
지금은 (분모)->0 이니 함수의 극한의 성질에 따라 lim를 분배할 수 없습니다.
대표적인 방법은 인수분해나 유리화 등을 통해 lim를 분배해줄 수 있는 상황을 만드는 것일테죠!
이럼 우리가 극한을 처리할 수 있겠습니다.
자 이제 일반적인 상황을 떠올려봅시다.
이러한 상황에서 아래 조건이 충족된다 합시다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능
2. f(a)=g(a)=0
3. g'(a)가 0이 아님
그럼 우리는 분모 분자에 각각 f(a), g(a)를 빼주고
분모 분자를 x-a로 나눠주고
이제 lim를 분배함으로써
주어진 극한이 아래가 됨을 알 수 있습니다.
즉, 앞으로 아래의 세 가지 조건을 만족할 때 우리는 주어진 극한을 분모 분자 각각 미분하고 독립변수 (x) 가 가까이 가는 값 (a)을 대입해주면 되겠습니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능
2. f(a)=g(a)=0
3. g'(a)가 0이 아님
이제 로피탈의 정리도 공부해봅시다. 결론부터 말하면 이러합니다.
방금 학습한 식과 굉장히 비슷합니다. 하지만 분모 분자에 위치한 함수의 도함수가 x=a에서 연속이 아니라면 위의 식과 같은 값을 지닌다고 말할 수 없을 수 있습니다. 로피탈의 정리는 아래 조건을 만족하는 상황에서 적용 가능합니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능
2. x->a일 때 f(x)->L 이고 g(x)->L (L 자리에는 숫자 0이나 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님
4. x->a 일 때 f'(x)/g'(x)가 수렴
증명은 아래 글을 참고하시면 좋겠습니다.
[칼럼] 로피탈은 교육과정 외가 아니다
증명 잘 보고 오셨나요?
로피탈의 정리를 적용할 수 있는 조건을 정리해보면 다음과 같습니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능
2. x->a일 때 f(x)->L & g(x)->L (L 자리에는 숫자 0 or 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님
4. f'(x)/g'(x)->k as x->a (단, k는 상수)
처음 극한을 두 가지 방법을 사용해 처리해봅시다.
먼저 조건을 확인한 후 미분계수의 정의를 활용하면
이렇게 될 것입니다.
마찬가지로 조건을 확인한 후 로피탈의 정리를 적용하면
이렇게 될 것입니다.
우리 앞으로 다항함수(수학2)든 초월함수(미적분)든 0/0꼴 극한은 위 두 가지 방법 중 하나로 처리할 생각도 해봅시다!
p.s. 처음에 함수의 극한 맥락에서 나오는 0/0 읽을 때 '영 분의 영' 말고 '무한소 분의 무한소'로 읽자고 했습니다. 이유는 그야...
있어보이니까
.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
사랑찾아 4
인생을찾아~
-
-
그야 업으니간..
-
고대생 소환술 4
"마스코트 고양이 참 귀엽더라구요~" "촌스러움" "안암 놀거 없잖아." "애기능?...
-
부산 놀러갈거에요
-
ㅠㅠ제발
-
님들아 전건긍정 lp, 종단속도 지문 어려운거 맞나요? 6
보기문제 난이도 다 상당하던데요
-
레어를 다 못팔면 집에 갈 수 앖어요
-
여기서 리트 150 설로의 돌파구는? 이거 해결하면 진짜 미친놈 인정한다 ㅇㅇ 근데...
-
이걸로 낸단 거 아님?? 국어 4권 (4) 수학 5권 (9) 영어 3권 (12)...
-
안녕하새요 2
안녕하세요
-
졸업식은 중국집이지 (내 졸업식은 아니긴 한데)
-
둘다 외대고 너무 고민돼서 올려요
-
Xdk 이건 뭐에요 10
어따 써요
-
올해 대학에 갔겠지
-
연대생 소환술 9
"YONSEI (X) CHAMSEI (O)" "응 너희 1학년 유배" "건물에...
-
물리2는 개념을 정확히 알면 문제는 잘 풀리는 과목인가요??? 3
어떻게 생각하시나요??? 개념공부로 너무 힘빼는건 안좋을까요???
-
킬캠을 열번이나 살수 잇는데 그걸로 수악 한문제 더맞춰서 급간 올리면 얼마나조을까
-
문학지문이 이해가 잘 안되고 시간이 너무오래걸리는데 방법없을까요? 복잡한...
-
한양높공 고대낮공 어디가 정배?
-
주기는 싫어요 그냥 궁금했어요
-
한주만에 2000분 분량 강의 몰아들어서 완강하고 복습+문풀+잘 모르겟는부분 다시...
-
앞뒤가 안 맞는거 아님?
-
대학커뮤니티 노크에서 선발한 한국외대 선배가 오르비에 있는예비 한국외대학생,...
-
대학커뮤니티 노크에서 선발한 부산대 선배가 오르비에 있는 예비 부산대학생, 부산대...
-
화1 4등급이였는데 재수 때 빡시게 해서 25수능 백분위 99로 올렸네요 앙기모띠
-
개미털기 2
머 올릴게 없네
-
걸어가면서 웬 성같은게 있길래 ㅅㅂ 뭔가하긴했음 ㅋㅋㅋㅋ 약간 강의들으러간게아니라...
-
민지 보고 가 5
-
-
개미털기 on 13
-
한양대생 소환술 3
"하냥대? 송하냥밖에 모르는데?" "어 거기 에리카 이원화 아니야?"
-
조절 실패햇어 어카냔 ㅏ나
-
관리 엄청 잘하신 90년대생분들이 많네..
-
제발.. 내가 집을 지키겟네.. 일하기 싫어..
-
전 계정은 일찍 만들어뒀는데 고등학교 2학년 말 쯤에 수능 관련 정보 구글에...
-
-
덕코좀 주세요 26
요즘은 안준다니까
-
정말 자야만해 0
죽기 싫어
-
저도이제잘게요 5
옯친구들 다들 잘장
-
1단원 문제 3개 투척! 풀이해주시면 1000덕 드림
-
대존맛임뇨
-
저한테 버려주실 분 9함뇨 저는 덕코를 드리겠습니다
-
성대생 소환술 3
"응 니네 이과 싹 다 유배" "서성한중"
-
시이발
-
혹시 저에게 하는 말이라고 이해해도 될까요?아니오 주어는 없습니다 :)
-
제발 제 잡담 태그를 꺼주세요 얘 ㄹㅇ 쓸모없는 글만 하루에 20개 쓰고 쓸모 있는...
-
작년 12월인가 인스타 현우진꺼 보고있었는데 스토리로 누굴 저격하는거임 ㅋㅋㅋ...
-
-
오르비 1
내리비 오르락내리락 반복돼 기쁨과 슬픔이 반복돼~
선좋아요 후감상!
앗 참고로 저는 '응꼴'로 읽습니다ㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅠㅠ 저는 그럼 '%꼴'로 읽을래요
응꼴잘읽었습니다!
ㅠㅠ 감사합니다
결론부 마음에 듭니다 ♡무한소 분의 무한소 꼴.
역시 간지의 학문 수학..
한성은 선생님 어록... 결국 모든 것은 '잘난 체하기 위해 배운다'
항상 잘 읽고 있습니다 감사해요!
감사합니다, 학습에 적절히 활용하셨으면 좋겠습니다!
한성은 현장 수강생이면 개추ㅋㅋ
막줄독해 성공
ㅋㅋㅋㅋㅋ 굿