미분가능성이랑, 미분계수 정의 관련 질문..

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함수 f(x) 가 있어요.

lim h->0 일때

{f(a+h)-f(a-h)}/2h 가 존재하면 미분가능하다.

라는 얘기가요.

틀린말이잖아요.
근데 미분계수의 정의에는 y변화량/x변화량 의 극한값을 미분계수라 한다. 라고 되어잇는데,

전 , 그래서 아하! 델타x분의 델타y 의 극한이 존재하면 당연히 미분가능하지! 이렇게 생각했는데요.

어디서 잘못된 건가요ㅠㅠ

{f(a+h)-f(a-h)}/2h 가 x의 변화량분의 y의 변화량이 아닌건가요 ? ㅠㅠ

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wolfshazy · 335570 · 12/06/04 12:49 · MS 2010

미분이 가능하다는 것은 좌,우미분계수가 같아야 하죠
위 식은 우미분계수와 좌미분계수의 평균값인데
그 두 값이 같다고 할수는 없지요

예를 들자면 f(x)=|x| 는 x=0 에서
좌,우미분계수의 평균값이 0으로 존재하지만 0에서 미분가능하진 않지요

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지나가는나그네 · 68540 · 12/06/04 13:17 · MS 2018

네 그럼 저 식을 delta y / delta x 라고 이해하면 안된다는 건가요??
궁금한 게, 분명 교과서에는 delta y / delta x 의 극한값이 존재하면 미분가능하다고 하며 그 값을 미분계수다. 라고 하는데요.
저는 위의 식을 delta y / delta x 라 봤거든요..
{ f(a+h)-f(a)} / h 와 {f(a+h)-f(a-h)} / 2h 는 어떤 차이가 있는건가요??
제가 느끼는 건 앞의 식은 고정된 값이 있다는 정도 밖에없는데요 ㅜㅜ
만약 그 때문이라면 {f(2x)-f(x)} / x 의 극한도 미분계수라 할 수 없는 것인가요?
함수가 미분가능하다 라는 전제조건이 있을 때랑 없을 때 어떻게 다른지 궁금합니다 ㅜㅜ

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wolfshazy · 335570 · 12/06/04 14:31 · MS 2010

저식은 단순히 dy/dx 로 이해하시는거보단
(f'(a+0)+f'(a-0))/2 로 이해하시는게 맞는거 같아요
댓글로 질문하신 두 식은 함수가 미분가능하다는 전제가 있을때만 같은 값이에요

(f(a+h)-f(a))/h 는
h가 +0이면 우미분계수 (=p라 하고)
-0이면 좌미분계수 (=q라 한다면)
(f(a+h)-f(a-h))/2h 는 h가 +0일 경우와 -0일 경우 모두
(p+q)/2 이죠

미분이 가능하단 전제가 있다면 p=q이므로
p=q=(p+q)/2가 성립하지만
전제가 없다면 x=a에서 p≠q일 수도 있으니까
p=q=(p+q)/2가 성립하지 않을 수 있죠

모바일이라 횡설수설 썼네요 ㅠㅠ

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wolfshazy · 335570 · 12/06/04 14:53 · MS 2010

너무 횡설수설한거 같아서 ; 요약하자면
delta y / delta x 의 극한값이 존재하면 미분가능하고
그 값이 미분계수라는 거잖아요 ?
그런데 극한값이란게 우극한값과 좌극한값이 같을때
거기서 극한값을 '존재' 한다고 하잖아요
따라서 미분가능이라는 전제가 없다면
delta y / delta x 의 좌우극한이 다른 점이 있을수 있고
거기서 dy /dx 의 극한은 '존재'하지 않는거죵

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지나가는나그네 · 68540 · 12/06/04 15:15 · MS 2018

그럼 {f(a+h)-f(a-h)}/2h 라는 식의 극한값은 미분계수일 때도 있고 아닐 때도 있는거 잖아요.

그러니까 저러한 식의 극한값이 존재한다고 해서 미분이 가능한지 불가능한지 결정할 수 없다 라는 게 맞죠?

교과서에서 delta y / delta x 의 극한값은 미분계수라 했으니 저 식은 delta y / delta x 라고 보면 안되는 것인가요?

그리구요 ㅠㅠ
저러한 식이 주어지면 무조건 식변환을 해서 풀어야하는 건가요?
하나의 f(a)라는 고정점이 주어지지 않은 경우에
반드시 f(a)라는 점을 더하고 빼서 식변환시킨다음 미분계수의 정의에
들어맞게 바꿔사 풀어야 하는건가요,?

그리구 f(2x)-f(x) / x 의 극한값도 f'(0) 라고 하면 안되는 거죠?

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wolfshazy · 335570 · 12/06/04 16:09 · MS 2010

결정할수 없고 dy / dx 라 볼수 없어영ㅋ
미분가능전제가 없으면 아래식도 f'(0)라 할수 없고요

그리고 저런식들은 이해만 제대로 되어있고 익숙해지도록 적응만 되면 f(a)를 빼고 더하는 과정은 생략해도 되지만 원론적으론 정의를 이용해서 푸는게 맞아요 ㅎㅎ

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지나가는나그네 · 68540 · 12/06/04 17:40 · MS 2018

음 왜 delta y / delta x 로 볼 수없는건가여??

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sos440 · 104180 · 12/06/04 21:51 · MS 2005

미분가능성의 엄밀한 정의는, 한쪽 끝을 (기호로 적자면, 예를 들어 x = a 라는 점에) 고정시킨 상태에서 모든 논의를 전개합니다. 따라서 이 정의를 만족하지 않는 경우는 '정의에 의하여' 미분이 불가능합니다.

그런데, 한쪽 끝이 고정된 경우가 아닌 양쪽 끝이 모두 자유롭게 변할 수 있는 경우에 그 양끝점에서의 평균기울기의 극한은 어떻게 될까요?

우리는 분명히 이런 경우가 미분가능성의 정의에 의하여 정당화되기를 원하며, 그것이 우리의 직관입니다.

결론적으로, 적당히 말로 적어보자면 다음 두 사실이 서로 필요충분조건임이 증명되어 있습니다.

(1) f(x)는 x = a 에서 미분가능하며, 그 지점에서 미분계수 값이 f'(a)이다.

(2) x = a 양 쪽에서 비슷한 속도로 접근하는 '임의의' 경우에 대하여, Δy/Δx 가 f'(a)로 수렴한다.

미분가능성은 이처럼 강력한 조건입니다. 따라서 요약하자면,

(i) 미분가능성은 우선 정의대로 따져야 한다.

(ii) 우리가 직관적으로 생각하는 '평균기울기의 극한'이라는 개념에서 미분가능성이 유도되려면, 한 가지 경우가 아닌 '가능한 거의 대부분의 Δx → 0 인 경우에 대하여 Δy/Δx 가 같은 값으로 수렴해야 한다' 는 조건이 필요하다.

는 것을 알 수 있습니다. 질문하신 경우는 이러한 조건들에 부합하지 않는 더욱 약한 조건이 됩니다.

p.s. 그러면 lim_{h→a} {f(a+2h) - f(a-h)}/3h = L 이 존재하면 f(x)는 x = a 에서 미분가능할까요? 네, 놀랍다면 놀랍고 당연하다면 당연하게도, 이 경우 f'(a)가 존재하고 L과 같은 값을 가집니다. 일반적으로, |p| ≠ |q| 일 때

lim {f(a+ph) - f(a-qh)} / (p-q)h = L

가 존재할 필요충분조건은 f(x)가 x = a 에서 미분가능하고 f'(a) = L 인 것입니다.

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백효월 · 1260931 · 24/08/25 23:18 · MS 2023

위 명제는 틀렸다고 할 수 있습니다
기존 맞는 명제는 x가 임의의 점 a에서 미분 가능하다 라는 조건이 붙어야 위 언급하신 식이 f’(a)라 할 수 있습니다 그 이유로는 x의 값이 a-h에서 a+h까지 변할때의 함수의 평균변화율이지만 움직이는 두 점만 존재할 뿐 정점이 없기 때문에 같다 할 수 없습니다. 따라서 필요한 조건이 미분 가능하다는 것이 언급 돼있어야 하는 것입니다.

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