미분가능성이랑, 미분계수 정의 관련 질문..
게시글 주소: https://ebsi.orbi.kr/0002914605
함수 f(x) 가 있어요.
lim h->0 일때
{f(a+h)-f(a-h)}/2h 가 존재하면 미분가능하다.
라는 얘기가요.
틀린말이잖아요.
근데 미분계수의 정의에는 y변화량/x변화량 의 극한값을 미분계수라 한다. 라고 되어잇는데,
전 , 그래서 아하! 델타x분의 델타y 의 극한이 존재하면 당연히 미분가능하지! 이렇게 생각했는데요.
어디서 잘못된 건가요ㅠㅠ
{f(a+h)-f(a-h)}/2h 가 x의 변화량분의 y의 변화량이 아닌건가요 ? ㅠㅠ
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
n년 동안 수능을 보셨는데 국어가 계속 4등급에서 쁠마1 정도로 잘 맞으면 3등급...
-
최초의 인간이 수원에 있었고, 그다음에 2인자가 서울에 갔죠.
-
아이디어 끝내서 기출 들어가야 하는데 기생집하면 너무 늦을까요 ㅜㅜ 교재 품절이라...
-
히히히히힣 힘들수록 귀여운 걸 봐야 행복해진달까 꿈돌아 사랑해~
-
갑자기 왜 들어온걸까요
-
더 유기하면 수능이야 ㅜ
-
영어공부 유기하겠습니다
-
.. 이씨발 출제진 새끼들은 1년 뒤에 다 까먹은 상태에서 다시 풀어보라고 하면 다...
-
나만 쉬움?
-
해설지랑 다르게 아래처럼 풀고싶은데,t->무한대인데 t+2분의t-1은 어떻게...
-
더러운 손(Dirty Hands), 최고 비상사태(Supreme...
-
사탐 3-4시간씩 조지는 사람들은 하루가 48시간인거임? 8
시간이 있나 ....
-
교육청 수준으로 수능을 볼 수 있다는 거잖아! 늙은이들 쳐내!
-
ㄷ선지 어떻게 풀어야되나요?? 중심별X의 행성 A, 중심별Y의 행성 B 행성A 속도...
-
이감 바탕 상상 1
실모 전년도 문제 재탕 많나요? 아니면 실모는 새로만들고 다음해 n제들에 들어가는...
-
저 꿀모 시즌 1 2 3 이랑 빡모 시즌3 샀는데 이거 머리박으면서 풀고 틀린거...
-
위당관 0
논술 학과 ㅇㄷ
-
다들 수분감 수1이랑 수2 체감 난이도상 뭐가 더 어렵게 느껴지셨나요 분명 공부...
-
"조전혁, 공보물 허위 기재" vs "정근식 아들 탈세 의혹" 12
서울시교육감 선거에 출마한 진보 진영 정근식 후보는 보수 진영 조전혁 후보가...
-
그냥 자+모+자로 보면 되나요?
-
10만덕 가져보고 싶다고 1시간동안 풍선 눌렀더니 현타오네 14
심지어 손해만 봌,,, 너구리같은 나..
-
젭알 구라안치고 매일 각각 2시간씩은 하는 듯
-
수1은 쉬4부터 턱턱 막히는데 수2는 안 이랬어......
-
아직도 안오네 시부랄
-
이감구거 4
구거구거
-
ㅠㅠㅠㅠㅠ
-
건대 자전 특강 3시간씩인데 인문 논술하고 수리논술 해본거라곤 개념하고 기출...
-
수능 몇일 전에 한 열흘 가량 남았었나 반 친구가 와 우리가 좀 있으면 수능을...
-
어떻게 해결하나요 설맞이, 드릴 풀었는데 드릴은 1권당 해설 본 영상이...
-
ㄷㄷ
-
사문 임금격차 0
도표 이제 시작해서 시간 없는데 버려도 될까여.. 계층 사회보장제도 노부유 ->...
-
01년생태그를 안없애고 그냥가는거같네요 틀내나서 별로인데
-
1컷 몇나올지 궁금해짐
-
깔창을 깐다는 전제하에
-
더자고싶어요,,
-
역E증가량-역E감소량=역E변화량이잖슴… 근데 문제에서 역학적 에너지 증가량을 구하라...
-
적백도 꿈은 아닐것이노라
-
좋아 5
좋은아침이라는뜻
-
1등되면 두배루드립미다,,,ㅜㅜ
-
제하하하하하
-
비나이다비나이다
-
국어공부만 해야겠다
-
✊️✊️✊️✊️✊️
-
온통보다 좀 더 뜨거운 열탕이 좋다 <- 이거지 다같이 팔팔 끓는 물속에서 팽형을...
-
ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
롤스:사회적 운의 결과물에 대한 정당한 자격 인정하지 않는다. 이거 맞나요? 현돌...
미분이 가능하다는 것은 좌,우미분계수가 같아야 하죠
위 식은 우미분계수와 좌미분계수의 평균값인데
그 두 값이 같다고 할수는 없지요
예를 들자면 f(x)=|x| 는 x=0 에서
좌,우미분계수의 평균값이 0으로 존재하지만 0에서 미분가능하진 않지요
네 그럼 저 식을 delta y / delta x 라고 이해하면 안된다는 건가요??
궁금한 게, 분명 교과서에는 delta y / delta x 의 극한값이 존재하면 미분가능하다고 하며 그 값을 미분계수다. 라고 하는데요.
저는 위의 식을 delta y / delta x 라 봤거든요..
{ f(a+h)-f(a)} / h 와 {f(a+h)-f(a-h)} / 2h 는 어떤 차이가 있는건가요??
제가 느끼는 건 앞의 식은 고정된 값이 있다는 정도 밖에없는데요 ㅜㅜ
만약 그 때문이라면 {f(2x)-f(x)} / x 의 극한도 미분계수라 할 수 없는 것인가요?
함수가 미분가능하다 라는 전제조건이 있을 때랑 없을 때 어떻게 다른지 궁금합니다 ㅜㅜ
저식은 단순히 dy/dx 로 이해하시는거보단
(f'(a+0)+f'(a-0))/2 로 이해하시는게 맞는거 같아요
댓글로 질문하신 두 식은 함수가 미분가능하다는 전제가 있을때만 같은 값이에요
(f(a+h)-f(a))/h 는
h가 +0이면 우미분계수 (=p라 하고)
-0이면 좌미분계수 (=q라 한다면)
(f(a+h)-f(a-h))/2h 는 h가 +0일 경우와 -0일 경우 모두
(p+q)/2 이죠
미분이 가능하단 전제가 있다면 p=q이므로
p=q=(p+q)/2가 성립하지만
전제가 없다면 x=a에서 p≠q일 수도 있으니까
p=q=(p+q)/2가 성립하지 않을 수 있죠
모바일이라 횡설수설 썼네요 ㅠㅠ
너무 횡설수설한거 같아서 ; 요약하자면
delta y / delta x 의 극한값이 존재하면 미분가능하고
그 값이 미분계수라는 거잖아요 ?
그런데 극한값이란게 우극한값과 좌극한값이 같을때
거기서 극한값을 '존재' 한다고 하잖아요
따라서 미분가능이라는 전제가 없다면
delta y / delta x 의 좌우극한이 다른 점이 있을수 있고
거기서 dy /dx 의 극한은 '존재'하지 않는거죵
그럼 {f(a+h)-f(a-h)}/2h 라는 식의 극한값은 미분계수일 때도 있고 아닐 때도 있는거 잖아요.
그러니까 저러한 식의 극한값이 존재한다고 해서 미분이 가능한지 불가능한지 결정할 수 없다 라는 게 맞죠?
교과서에서 delta y / delta x 의 극한값은 미분계수라 했으니 저 식은 delta y / delta x 라고 보면 안되는 것인가요?
그리구요 ㅠㅠ
저러한 식이 주어지면 무조건 식변환을 해서 풀어야하는 건가요?
하나의 f(a)라는 고정점이 주어지지 않은 경우에
반드시 f(a)라는 점을 더하고 빼서 식변환시킨다음 미분계수의 정의에
들어맞게 바꿔사 풀어야 하는건가요,?
그리구 f(2x)-f(x) / x 의 극한값도 f'(0) 라고 하면 안되는 거죠?
결정할수 없고 dy / dx 라 볼수 없어영ㅋ
미분가능전제가 없으면 아래식도 f'(0)라 할수 없고요
그리고 저런식들은 이해만 제대로 되어있고 익숙해지도록 적응만 되면 f(a)를 빼고 더하는 과정은 생략해도 되지만 원론적으론 정의를 이용해서 푸는게 맞아요 ㅎㅎ
음 왜 delta y / delta x 로 볼 수없는건가여??
미분가능성의 엄밀한 정의는, 한쪽 끝을 (기호로 적자면, 예를 들어 x = a 라는 점에) 고정시킨 상태에서 모든 논의를 전개합니다. 따라서 이 정의를 만족하지 않는 경우는 '정의에 의하여' 미분이 불가능합니다.
그런데, 한쪽 끝이 고정된 경우가 아닌 양쪽 끝이 모두 자유롭게 변할 수 있는 경우에 그 양끝점에서의 평균기울기의 극한은 어떻게 될까요?
우리는 분명히 이런 경우가 미분가능성의 정의에 의하여 정당화되기를 원하며, 그것이 우리의 직관입니다.
결론적으로, 적당히 말로 적어보자면 다음 두 사실이 서로 필요충분조건임이 증명되어 있습니다.
(1) f(x)는 x = a 에서 미분가능하며, 그 지점에서 미분계수 값이 f'(a)이다.
(2) x = a 양 쪽에서 비슷한 속도로 접근하는 '임의의' 경우에 대하여, Δy/Δx 가 f'(a)로 수렴한다.
미분가능성은 이처럼 강력한 조건입니다. 따라서 요약하자면,
(i) 미분가능성은 우선 정의대로 따져야 한다.
(ii) 우리가 직관적으로 생각하는 '평균기울기의 극한'이라는 개념에서 미분가능성이 유도되려면, 한 가지 경우가 아닌 '가능한 거의 대부분의 Δx → 0 인 경우에 대하여 Δy/Δx 가 같은 값으로 수렴해야 한다' 는 조건이 필요하다.
는 것을 알 수 있습니다. 질문하신 경우는 이러한 조건들에 부합하지 않는 더욱 약한 조건이 됩니다.
p.s. 그러면 lim_{h→a} {f(a+2h) - f(a-h)}/3h = L 이 존재하면 f(x)는 x = a 에서 미분가능할까요? 네, 놀랍다면 놀랍고 당연하다면 당연하게도, 이 경우 f'(a)가 존재하고 L과 같은 값을 가집니다. 일반적으로, |p| ≠ |q| 일 때
lim {f(a+ph) - f(a-qh)} / (p-q)h = L
가 존재할 필요충분조건은 f(x)가 x = a 에서 미분가능하고 f'(a) = L 인 것입니다.
위 명제는 틀렸다고 할 수 있습니다
기존 맞는 명제는 x가 임의의 점 a에서 미분 가능하다 라는 조건이 붙어야 위 언급하신 식이 f’(a)라 할 수 있습니다 그 이유로는 x의 값이 a-h에서 a+h까지 변할때의 함수의 평균변화율이지만 움직이는 두 점만 존재할 뿐 정점이 없기 때문에 같다 할 수 없습니다. 따라서 필요한 조건이 미분 가능하다는 것이 언급 돼있어야 하는 것입니다.